Основные теоремы теории вероятностей

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих собы — |цй. Если А, В — несовместны, то

Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (2.1)

Эта теорема обобщается на произвольное число несовмест­ных событий

І = I 1—1

Следствие 1. Если события А{ образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна еди­нице:

2/4/1,)= 1. (2.2)

і=л

Пример 2.2. Для условий примера 2.1 написать уравнение вероятностей нахождения системы в любом возможном со — V юянии.

Решение. В процессе эксплуатации система С может находиться в одном и только в одном из четырех возможных тстояний:

отказа первого элемента и работоспособности второго і/ісмеита;

— отказа второго элемента и работоспособности первого элемента;

— отказа первого и второго элементов вместе;

— работоспособности первого и второго элементов или в состоянии работоспособности всей системы в целом.

Поскольку система обязательно будет находиться только в одном из возможных состояний, то это сложное событие до­стоверно и, следуя формуле (2.2), напишем искомое урав­нение

Р (Э, Э2) + POi Э8) + Р (Эа Эа) + Р(Э, Э2) = 1

или

Р(С) + Я(С) = 1.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных собы­тий равна единице:

Р(А + А) = Р(А) + Р(А) = 1.

Это следствие имеет очень большое практическое значение, так как весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события А, чем вероятность прямого со­бытия А.

Состояние отказа и работоспособное состояние системы являются противоположными событиями. Условимся вероят­ность безотказной работы устройства обозначать буквой Р, а вероятность отказа — Q. Зная вероятность отказа системы Q, можно легко, используя формулу (2.2). определить вероят­ность безотказной работы Р, т. е.

Р = 1 — Q.

Следствие 3. В случае, когда события А и В совместны, ве­роятность суммы этих событий выражается формулой

Р{А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ).

Теорема умножения вероятностей. Понятие о зависимых и независимых событиях.

Событие А называется зависимым или независимым от со­бытия В, если вероятность события А меняется или не меня­ется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Исходя из этого определения, зависимость и независи­мость отказов друг от друга характеризуется наличием или отсутствием функциональных связей между элементами си­стемы.

Вероятносгь события А, вычисленная при условии, чго имело место событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).

Условие независимости события А от события В можно іШінсать в виде Р{А1В) = Р(Л), а условие зависимости в виде Р{№)фР{А).

Вероятность произведения двух событий равна произведе­нию вероятности одного из них на условную вероятность дру — ни о, вычисленную при условии, что первое имело место. Известно, что А зависит от В, тогда* вероятность их произ-

• ІЄДЄНИЯ

Р(А-В) = Р(А)Р(Б’А

и т (2.3)

Р{В1А) = Р{А-В)!Р(А).

При применении формулы (2.3) безразлично, какое из со — оытий А и В считать первым, а какое вторым, а поэтому

Р(А-В)^ Р(В)Р(А! В).

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то событие В не зависит от события А.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А-В)^Р(А)Р(В). (2.4)

ІІ случае п событий

Р(П At) =П Р{А).

Пример 2.3. Определить вероятности элементарных и • ложных событий в опыте с шестью равновозможными исхо — І. іми (см. рис. 2.1).

Решение. Вероятности выпадания одного, двух, трех, че — іьірех, пяти и шести очков (рис. 2.1, а) соответственно равны

/Л = Р, = Р3 = Р,—= Р, = =

Вероятности сложных событий Л, В, А, В, А Л-В и А В (рис. 2.1,6) равны

Р(Л) = |-; Р(В)=-|: Р(Л) = 4-; =

Р(А + В) — І-; Р(ЛВ) = Р(А) Р(В! А) = |~-j-.

Вероятности сложных событий А, В и АВ (рис. 2.1, є) равны Р(АВ) = Р(А)Р(В = •§-— = — g-;

Р(Л) = -|; Р<В> = Т‘

Событие Л—/45 означает, что произошло событие Л, но не произошли одновременно оба события А и В, поэтому А— —АВ^АВ. Тогда

Р (АВ) = Р(Л) Р (В/Л) = •

Событие 5—ЛБ = ВД означает, что произошло событие В, но не произошли одновременно два события В и А Тогда

Р(ВА) = Р(В) Р(А/В) = ” Т •

Вероятности сложных событий А и В (рис. 2.1, г) равны Р(ЛВ) = Р(Л)Р(В/Л) = |~

РІЛ-£ІШ. 2 1_3

‘■’_Р(В/Л) ~ 6’2 ~ 6 ’

следовательно, Р (В) = — g-

вероятности сложных событий А В, А+В, В и А (рис. 2.1, д) будут равны

Р(Л) = |-; Р(В) = -|; P(Z + B)=|-;

Я(В)=| и PW-J.

Так как А + В-^А, то

ІЦАСаТВ)) = P(A)P{A+BfA =-1.1 = ^-.

Вероятности сложных событий А и А (рис. 2.1, е) будут равны

Р(Л) = |-; Р(Л) = |-.